Question

已知函数f（x）=sinωx•cos（ωx+

π

6

）（ω＞0）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）先化简求得解析式f（x）=

1

2

sin(2wx+

π

6

)-

1

4

，由f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，可求周期，即可求w的值；
（2）由（1）知f(x)=

1

2

sin(2x+

π

6

)-

1

4

，由0≤x≤

π

2

，可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，即可求函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大值．

解答： 解：（1）f(x)=sinwx•cos(wx+

π

6

)

=sinwx•( 3 2 coswx- 1 2 sinwx) = 3 2 sinwx•coswx- 1 2 sin2wx = 3 4 sin2wx- 1 4 + cos2wx 4

=

1

2

sin(2wx+

π

6

)-

1

4

∵f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
则f（x）的周期T=

2π

2w

=π，
∴w=1
（2）由（1）知f(x)=

1

2

sin(2x+

π

6

)-

1

4

；
∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

；
则当2x+

π

6

=

π

2

，
即x=

π

6

时，f（x）在[0，

π

2

]上有最大值f(x)max=

1

4

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基础题．