Question

已知函数f（x）=a^X，（a＞0且a≠1），若函数g（x）的图象和函数f（x）的图象关于直线y=x对称，且h（x）=g[（a-1）x+2]．
（1）求h（x）的定义域；
（2）当x∈[3，4]时，h（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数的意义得出（a-1）x＞-2，且a≠1，分类讨论求解不等式即可．
（2）f（x）有意义得：

a＞0 3(a-1)+2＞0 4(a-1)+2＞0

，解得：a＞

1

2

，根据函数的单调性分类讨论当

1

2

＜a＜1时，②当a＞1时，求解即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=a^X，（a＞0且a≠1），若函数g（x）的图象和函数f（x）的图象关于直线y=x对称
∴g（x）=log_ax，
∵h（x）=g[（a-1）x+2]．
∴h（x）=log_a（（a-1）x+2），
∵（a-1）x+2＞0，
∴（a-1）x＞-2，且a≠1，
①当a-1＞0，即a＞1时，x＞

-2

a-1

，
定义域为（

-2

a-1

，+∞），
②当

a-1＜0 a＞0

，即0＜a＜1时，x＜

-2

a-1

，
综上；当a＞1时，定义域为（

-2

a-1

，+∞），
0＜a＜1时，定义域为（-∞，

-2

a-1

）
（2）当x∈[3，4]时，f（x）有意义得：

a＞0 3(a-1)+2＞0 4(a-1)+2＞0

，
解得：a＞

1

2

，
①当

1

2

＜a＜1时，
由h（x）＞0恒成立得：（a-1）x+2＜1，在x∈[3，4]上恒成立，
∴a＜1-

1

x

恒成立，∴a＜

2

3

∴

1

2

＜a＜

2

3

，
②当a＞1时，
由h（x）＞0恒成立得：：（a-1）x+2＞1，在x∈[3，4]上恒成立，
∴a＞1-

1

x

，
∴a＞1，
综上：a∈（

1

2

，

2

3

）∪（1，+∞）．

点评：本题综合考查了函数的性质，运用最值，单调性求解不等式的恒成立问，属于中档题，难度不大．