Question

2．在锐角△ABC中，A，B，C角所对的边分别为a，b，c，且$\frac{acosB+bcosA}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC．
（1）求∠C；
（2）若$\frac{a}{sinA}$=2，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin²C，即可求∠C；
（2）若$\frac{a}{sinA}$=2，可得c=$\sqrt{3}$．由余弦定理得3=b²+a²-ab≥ab（a=b时取等号），即可求△ABC面积S的最大值．

解答 解：（1）由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin²C，
∴sin（A+B）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin²C，
∴sinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin²C，
∵sinC＞0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C为锐角，
∴C=60°；
（2）由$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=2，可得c=$\sqrt{3}$．
由余弦定理得3=b²+a²-ab≥ab（a=b时取等号），
∴S=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{1}{2}•3•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC面积S的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，三角形的面积公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．