Question

14．某中学的十佳校园歌手有6名男同学，4名女同学，其中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的7个班，现从10名同学中随机选择3名参加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为$\frac{49}{60}$，设X为选出3名同学中女同学的人数，则该变量X的数学期望为$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 ①利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同班级的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{6}^{3-k}}{{∁}_{10}^{3}}$，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．

解答 解：设“选出的3名同学是来自互不相同班级”为事件A，
则P（A）=$\frac{{∁}_{3}^{1}×{∁}_{7}^{2}+{∁}_{7}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{49}{60}$
所以选出的3名同学是来自互不相同班级的概率为$\frac{49}{60}$．
（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{6}^{3-k}}{{∁}_{10}^{3}}$，（k=0，1，2，3）．
所以随机变量X的分布列是：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

随机变量X的数学期望EX=0+$1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}$=$\frac{6}{5}$．
故答案为：$\frac{49}{60}$，$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．