Question

17．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为-1的直线l，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若$2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$，则双曲线的离心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$，进而根据$2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$，求得a和b的关系，进而根据c²-a²=b²，求得a和c的关系，则离心率可得．

解答 解：过右顶点A（a，0）作斜率为-1的直线，
可得直线l：y=-x+a与渐近线l₁：bx-ay=0交于B（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），
l与渐近线l₂：bx+ay=0交于C（$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，-$\frac{ab}{a-b}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{ab}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，-$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$），
∵$2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$，
∴$\frac{-ab}{a+b}$=$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，化为b=2a，
∴c²-a²=4a²，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=5，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查双曲线的性质：离心率和渐近线方程，考查联立直线方程求交点，以及向量的坐标运算，考查化简整理的运算能力，属于中档题．