Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b=acosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC且的面积为$\sqrt{3}$，且AB边上的中线长为$\sqrt{2}$，求边长b，c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理和两角和的正弦公式可得tanA=$\sqrt{3}$，即可求出，
（Ⅱ）根据三角形的面积公式可得bc=4，①，再根据余弦定理可得b²+$\frac{{c}^{2}}{4}$-$\frac{1}{2}$bc=2，②，联立方程组解得即可

解答 解：（Ⅰ）∵b=acosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinA，
由正弦定理得sinB=sinAcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinA，
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinA，
∴cosAsinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinA，
∵sinC≠0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，得bc=4，①，
设D是AB边的中点，且AB边上的中线长为$\sqrt{2}$，
在△ADC中，由余弦定理得（$\sqrt{2}$）²=b²+（$\frac{c}{2}$）²-2b×$\frac{c}{2}$cos$\frac{π}{3}$，
即b²+$\frac{{c}^{2}}{4}$-$\frac{1}{2}$bc=2，②，
联立①②解得b=$\sqrt{2}$，c=2$\sqrt{2}$

点评 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．