题目内容
4．已知数列{an}，an=（2n+m）+（-1）n（3n-2）（m∈N*，m与n无关），若$\sum_{i=1}^{2m}$a2i-1≤k2-2k-1对一切m∈N*恒成立，则实数k的取值范围为（-∞，-1]∪[3，+∞）．分析 求出$\sum_{i=1}^{2m}$a2i-1关于m的函数式，求出其最大值，再解不等式即可得出k的范围．
解答 解：a2i-1=2（2i-1）+m+（-1）2i-1[3（2i-1）-2]=4i-2+m-（6i-5）=-2i+m+3，
$\sum_{i=1}^{2m}$a2i-1=$\sum_{i=1}^{2m}$（-2i+m+3）=-2$\sum_{i=1}^{2m}$i+2m（m+3）=$\frac{2m+1}{2}×2m×（-2）$+2m2+6m=-2m2+4m，
∴-2m2+4m≤k2-2k-1恒成立，
∵-2m2+4m=-2（m-1）2+2≤2，
∴k2-2k-1≥2恒成立，即k2-2k-3≥0，
解得k≥3或k≤-1．
故答案为（-∞，-1]∪[3，+∞）．
点评 本题考查了数列求和，函数恒成立问题，不等式的解法，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | -$\frac{5+i}{2}$ | B． | $\frac{-5+i}{2}$ | C． | $\frac{1+5i}{2}$ | D． | $\frac{1-5i}{2}$ |
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