Question

7．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有$\frac{x}{2}$f′（x）+f（-x）≤0，若g（x）=x²f（x），则不等式g（x）＜g（1-2x）的解集为（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，1）
• B． （-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）
• C． （$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 根据函数f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数，利用导数可以判断g（x）在[0，+∞）为减函数，则不等式g（x）＜g（1-2x）转化为|x|＞|1-2x|，解得即可

解答 解：∵定义在R上的偶函数f（x），
∴f（-x）=f（x）
∵x≥0时，恒有$\frac{x}{2}$f′（x）+f（-x）≤0，
∴x²f′（x）+2xf（x）≤0，
∵g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）≤0，
∴g（x）在[0，+∞）为减函数，
∵f（x）为偶函数，
∴g（x）为偶函数，
∴g（x）在（-∞，0）上为增函数，
∵g（x）＜g（1-2x）
∴|x|＞|1-2x|，
即（x-1）（3x-1）＜0，
解得$\frac{1}{3}$＜x＜1，
故选：A

点评 本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题