Question

10．在△ABC中，O是△ABC的重心，AM是中线．
（1）求证：$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$=0；
（2）若P为中线AM上的一个动点，且AM=2，求$\overrightarrow{PA}$（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角形的重心的性值可得$\overrightarrow{OA}$=-2$\overrightarrow{OM}$，且$\overrightarrow{OM}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$，由此可证得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．
（2）设AP=x，则PM=2-x，（0≤x≤2），化简要求的式子为2（x-1）²-2，利用二次函数的性质求得它的最小值．

解答 解：（1）证明：△ABC中，O是△ABC的重心，AM是中线，∴AO=2OM，即$\overrightarrow{OA}$=-2$\overrightarrow{OM}$．
又∵$\overrightarrow{OM}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$，∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OM}$，∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$$+\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{0}$．
（2）若P为中线AM上的一个动点，且AM=2，设AP=x，则PM=2-x，（0≤x≤2），
∵M为线段BC的中点，∴$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PM}$，∴$\overrightarrow{PA}$（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）
=2$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PM}$=-2x•（2-x）=2x•（x-2）=2（x-1）²-2，
故当x=2时，$\overrightarrow{PA}$（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）取得最小值为-2．

点评 本题考查了三角形的中线，两向量的和的平行四边形法则，均值不等式及不等式的性质，是中档题．