Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{2a}{cosA}$=$\frac{3c-2b}{cosB}$．
（1）若b=$\sqrt{5}$sinB，求a；
（2）若a=$\sqrt{6}$，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求b+c．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得：3sinCcosA=2sinC，结合sinC≠0，可求cosA=$\frac{2}{3}$，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，结合已知，利用正弦定理可得a的值．
（2）由已知利用三角形面积公式可求bc=3，进而利用余弦定理即可解得b+c的值．

解答 解：（1）∵$\frac{2a}{cosA}$=$\frac{3c-2b}{cosB}$．
∴由正弦定理可得：$\frac{2sinA}{cosA}=\frac{3sinC-2sinB}{cosB}$，整理可得：3sinCcosA=2sin（A+B）=2sinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{2}{3}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵b=$\sqrt{5}$sinB，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{5}sinB×\frac{\sqrt{5}}{3}}{sinB}$=$\frac{5}{3}$．
（2）∵sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{3}$×bc，
∴bc=3，
∵a=$\sqrt{6}$，cosA=$\frac{2}{3}$，
∴由余弦定理可得：6=b²+c²-$\frac{4}{3}$bc=（b+c）²-2bc-$\frac{4}{3}$bc=（b+c）²-10，
∴b+c=4．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．