Question

5．一个长方体共顶点的三个面的面积分别是$\sqrt{2}，\sqrt{3}，\sqrt{6}$，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是6π．

Answer 1

分析 由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．

解答 解：因为一个长方体相邻的三个面的面积分别是$\sqrt{2}，\sqrt{3}，\sqrt{6}$，
∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，1，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是确定直径，
长方体的体对角线的长是：$\sqrt{2+3+1}$=$\sqrt{6}$
球的半径是：$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
这个球的表面积：4$π•\frac{6}{4}$=6π．
故答案为6π．

点评 本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．