Question

2．（1）已知椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，准线方程为x=±8，求该椭圆的标准方程
（2）求与双曲线x²-2y²=2有公共渐近线，且过点M（2，-2）的双曲线方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=8}\end{array}\right.$，即可求该椭圆的标准方程；
（2）设出双曲线方程，代入点的坐标求解即可．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=8}\end{array}\right.$，∴a=$4\sqrt{2}$，c=4，b=4，
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{16}=1$；
（2）所求双曲线与双曲线x²-2y²=2有公共渐近线，
所以设双曲线为：x²-2y²=m，过点M（2，-2）
则4-8=m，m=-4．
所求双曲线方程为：x²-2y²=-4．即$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆、双曲线方程的求法，设双曲线方程是简化解题的关键．