Question

若曲线y=

1-x2

与直线kx+y+2k+1=0有二个公共点，则k的取值范围是（　　）

• A、(0，

  4

  3

  )
• B、[1，

  4

  3

  )
• C、(-

  4

  3

  ，-1)
• D、(-

  4

  3

  ，-

  1

  3

  )

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：计算题,数形结合,直线与圆

分析：曲线C表示圆心为（0，0），半径为1的x轴上方的半圆，直线与曲线C有两个公共点，即直线与半圆有两个交点，根据题意画出相应的图形，利用点到直线的距离公式，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于k的方程，求出直线与圆相切时斜率的值，进而得到k的取值范围．

解答： 解：曲线y=

1-x2

，表示圆心为（0，0），半径为1的x轴上方的半圆，直线kx+y+2k+1=0，恒过（-2，-1）点，
根据题意画出图形，如图所示：
若直线与圆相切，直线斜率k₂，当直线过（-1，0）时，直线的斜率为k₁，k的取值范围是：[k₁，k₂）．
而k₁=

-1-0

-2+1

=1，直线斜率k₂的直线方程为：-kx+y-2k+1=0，
由

|-2k+1|

k2+1

=1，解得k=0（舍去），k=

4

3

则直线与圆有公共点时，倾斜角的取值范围是：[1，

4

3

）．
故选：B．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线斜率与倾斜角的关系，点到直线的距离公式，利用了转化及数形结合的思想，其中根据题意画出相应的图形是解本题的关键．