Question

某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题

分析：（1）直接把点（65，55）、（75，45）代入一次函数解析式，联立方程组求解k，b的值，则函数解析式可求；
（2）由每一件的利润乘以销售量得利润函数，利用配方法求最大值；
（3）求解不等式，结合实际问题的定义域得到获得利润不低于500元时的销售单价x的范围．

解答： 解：（1）根据题意得

65k+b=55 75k+b=45

，解得k=-1，b=120．
∴所求一次函数的表达式为y=-x+120（60≤x≤87）；
（2）每一件的获利为x-60，
则获得利润W=（x-60）•（-x+120）=-x²+180x-7200=-（x-90）²+900，
∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤87，
∴当x=87时，W=-（87-90）²+900=891，
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；
（3）由-x²+180x-7200≥500，
整理得，x²-180x+7700≤0，解得，70≤x≤110，
∴要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60≤x≤87，
∴销售单价x的范围是70≤x≤87．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用配方法求函数的最值，考查了不等式的解法，是中档题．