Question

设正数x、y、z满足2x+2y+z=1．
（1）求3xy+yz+zx的最大值；
（2）证明：

3

1+xy

+

1

1+yz

+

1

1+zx

≥

125

26

．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把z=1-2x-2y 代入要求的式子M=3xy+yz+zx化简，可得M=3xy+（x+y）-2（x+y）²≤3•

(x+y)2

4

+（x+y）-2（x+y）²，令t=x+y，则M≤-

5

4

t²+t，再利用二次函数的性质求得它的最大值．
（2）证明：由柯西不等式可得[3（1+xy）+（1+yz）+（1+xz）]•[

3

1+xy

+

1

1+yz

+

1

1+zx

]≥（3+1+1）²，再利用（1）的结果证得不等式．

解答： 解：（1）由题意可得，z=1-2x-2y，故M=3xy+yz+zx=3xy+（x+y）z=3xy+（x+y）[1-2（x+y）]
=3xy+（x+y）-2（x+y）²≤3•

(x+y)2

4

+（x+y）-2（x+y）²=-

5

4

（x+y）²+（x+y），当且仅当x=y时，取等号．
令t=x+y，则M≤-

5

4

t²+t=-

5

4

(t-

2

5

)2+

1

5

≤

1

5

，当且仅当t=x+y=

2

5

时，取等号．
综上可得，当且仅当 x=y=

1

5

时，M=3xy+yz+zx 取得最大值为

1

5

．
（2）证明：由柯西不等式和（1）的结果可得[3（1+xy）+（1+yz）+（1+xz）]•[

3

1+xy

+

1

1+yz

+

1

1+zx

]≥（3+1+1）²，
可得

3

1+xy

+

1

1+yz

+

1

1+zx

≥

25

3(1+xy)+(1+yz)+(1+xz)

=

25

5+3xy+yz+xz

≥

25

5+ 1 5

=

125

26

，
不等式得证．

点评：本题主要考查基本不等式、柯西不等式的应用，属于中档题．