Question

有下列几个命题：
（1）函数f（x）=sin（

π

3

-2x）（x∈R）在区间﹙-

π

12

，

5π

12

﹚上单调递增．
（2）当α∈﹙0，

π

2

﹚时，sinα＜α＜tanα．
（3）若y=sinx-log_ax有5个零点，则实数a取值范围﹙

2

11π

，

2

7π

﹚∪﹙

9π

2

，

13π

2

﹚．
（4）一种放射性元素的质量按每年20%衰减，则这种射性元素的半衰期为2.5年（lg≈0.3）．
（5）定义运算

.

a b

c d

.

=ad-bc，已知函数?（x）=

.

sinx cosx

1 3

.

，若方程f²（x）=k在区间﹙-

π

12

，

π

4

﹚上有两解，实数k的范围是（0，2，-

3

）．
其中正确命题的序号是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：（1）函数f（x）=sin（

π

3

-2x）=-sin(2x-

π

3

)，由x∈﹙-

π

12

，

5π

12

﹚可得-

π

2

＜2x-

π

2

＜

π

6

，即可判断出单调性；
（2）设f（x）=x-sinx，g（x）=x-tanx，x∈﹙0，

π

2

﹚，利用导数研究函数的单调性即可得出；
（3）若y=sinx-log_ax有5个零点，当0＜a＜1时，必须满足：loga

7π

2

＞-1，loga

11π

2

＜-1，解得a的范围；同理，当a＞1时，解出即可判断出；
（4）一种放射性元素的质量按每年20%衰减，可得（1-20%）ⁿ=0.5，解得n即可判断出．
（5）利用行列式定义可得函数f（x）=2sin(x-

π

6

)，x∈﹙-

π

12

，

π

4

﹚，f²（x）=4sin2(x-

π

6

)=2-2cos(2x-

π

3

)，由x∈﹙-

π

12

，

π

4

﹚，分x∈(-

π

12

，

π

6

)时，x∈[

π

6

，

π

4

)时，得出函数的单调性值域，即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin（

π

3

-2x）=-sin(2x-

π

3

)，由x∈﹙-

π

12

，

5π

12

﹚可得-

π

2

＜2x-

π

2

＜

π

6

，因此函数f（x）在区间﹙-

π

12

，

5π

12

﹚上单调递减，不正确．
（2）设f（x）=x-sinx，g（x）=x-tanx，x∈﹙0，

π

2

﹚，f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=1-

1

cos2x

＜0，∴函数f（x），g（x）在x∈﹙0，

π

2

﹚上分别单调递增、单调递减，∴f（x）＞f（0）=0，g（x）＜g（0）=0，可得sinα＜α＜tanα，正确．
（3）若y=sinx-log_ax有5个零点，当0＜a＜1时，必须满足：loga

7π

2

＞-1，loga

11π

2

＜-1，解得a∈﹙

2

11π

，

2

7π

﹚，同理，当a＞1时，a∈﹙

9π

2

，

13π

2

﹚．
因此实数a取值范围﹙

2

11π

，

2

7π

﹚∪﹙

9π

2

，

13π

2

﹚，正确．
（4）一种放射性元素的质量按每年20%衰减，可得（1-20%）ⁿ=0.5，解得n=

lg0.5

lg0.8

=

-lg2

3lg2-1

≈

-0.3

0.9-1

=3．因此这种射性元素的半衰期为3年，不正确．
（5）由函数f（x）=

.

sinx cosx

1 3

.

=

3

sinx-cosx=2sin(x-

π

6

)，x∈﹙-

π

12

，

π

4

﹚，f²（x）=4sin2(x-

π

6

)=2-2cos(2x-

π

3

)，
∵x∈﹙-

π

12

，

π

4

﹚，∴当x∈(-

π

12

，

π

6

)时，函数f²（x）单调递减，f²（x）∈（2，0）；当x∈[

π

6

，

π

4

)时，函数f²（x）单调递增，f²（x）∈[0，2-

3

），因此，由方程f²（x）=k在区间﹙-

π

12

，

π

4

﹚上有两解，∴实数k的范围是（0，2-

3

），正确．
故答案为：（2）（3）（5）．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值、对数的运算性质、行列式的计算，考查了分类讨论、数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．