Question

如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（Ⅰ）过P作PO⊥平面ABC，交AD于O，连接OC，由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角，由此能求出直线PC与平面ABC所成角的正弦值．
（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面APC的一个法向量和平面ABP的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角B-AP-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）过P作PO⊥平面ABC，交AD于O，连接OC，
由已知，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角，
设AB中点为D，连接PD，CD
因为AB=BC=CA，
所以CD⊥AB，
因为∠APB=90°，∠PAB=60°，
所以△PAD为等边三角形，不妨设PA=2，
则OD=1，OP=

3

，AB=4
所以CD=2

3

，OC=

OD2+CD2

=

1+12

=

13

，
PC=

OC2+OP2

=

13+3

=4，
在Rt△OCP中，sin∠OCP=

OP

PC

=

3

4

．
故直线PC与平面ABC所成角的正弦值为

3

4

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以O为原点，建立空间直角坐标系．
则

AP

=（1，0，

3

），

AC

=（2，2

3

，0），
设平面APC的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则由

n • AP =x+ 3 z=0 n • AC =2x+2 3 y=0

，
取x=-

3

，则y=1，z=1，所以

n

=（-

3

，1，1）
设二面角B-AP-C的平面角为β，由题意知β为锐角
而面ABP的一个法向量为

m

=（0，1，0），
则cosβ=|

n • m

| n |•| m |

=|

1

3+1+1

|=

5

5

故二面角B-AP-C的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行、垂直的性质及应用，解题时要注意向量法的合理运用，是中档题．