Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使FG⊥平面PCB，并证明你的结论；
（3）求三棱锥B-DEF的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥DC，PD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥PA，再由EF∥PA，能证明EF⊥CD．
（2）当G为AD的中点时，设BD的中点为O，连接OF，OG，PG，GB．推导出BC⊥平面GFO，从而GF⊥BC，推导出GF⊥PB，由此得到GF⊥平面PCB．
（3）三棱锥B-DEF的体积V_B-DEF=V_F-BDE．由此能求出结果．

解答 （本题满分14分）
证明：（1）因为底面ABCD是的正方形，所以AD⊥DC．
又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥CD．
又AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD，（2分）
又PA?平面PAD，所以CD⊥PA． （4分）
因为E，F分别是AB，PB的中点，所以EF∥PA，（5分）
所以EF⊥CD．  （6分）
解：（2）当G为AD的中点时，FG⊥平面PCB．
证明：设BD的中点为O，连接OF，OG，PG，GB．
因为O，F，G分别是BD，PB，AD的中点，所以FO∥PD，GO∥AB．
因为AB⊥BC，所以GO⊥BC，所以BC⊥平面GFO．  （8分）
又GF?平面GFO，所以GF⊥BC．
因为PD=DC=2，所以$PG=GB=\sqrt{5}$．
又F是PB的中点，所以GF⊥PB，
所以GF⊥平面PCB．  （11分）
（3）∵PD⊥底面ABCD，O，F分别是DB，PB的中点，
∴FO⊥平面BDE，且FO=$\frac{1}{2}$PD=1，
S_△BDE=$\frac{1}{2}×AD×BE=\frac{1}{2}×2×1$=1，
∴三棱锥B-DEF的体积${V_{B-DEF}}={V_{F-BDE}}=\frac{1}{3}{S_{△BDE}}•（\frac{1}{2}PD）=\frac{1}{3}$．  （14分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．