Question

1．下列命题：
①函数$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的单调减区间为$[kπ+\frac{π}{12}，kπ+\frac{7π}{12}]，k∈Z$；
②函数$y=\sqrt{3}cos2x-sin2x$图象的一个对称中心为$（\frac{π}{6}，0）$；
③函数y=cosx的图象可由函数$y=sin（x+\frac{π}{4}）$的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位得到；
④若方程$sin（2x+\frac{π}{3}）-a=0$在区间$[0，\frac{π}{2}]$上有两个不同的实数解x₁，x₂，则${x_1}+{x_2}=\frac{π}{6}$．
其中正确命题的序号为①②④．

Answer 1

分析 根据正弦函数余弦函数的性质分别分析选择即可．

解答 解：下列命题：
①令2k$π+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$2kπ\\;\\;+\frac{π}{2}\\;\\;\\;\\;\\;\\;\$ $+\frac{3π}{2}$   解得k$π+\frac{π}{12}$≤x≤k$π+\frac{7π}{12}$，k∈Z，
得到函数  $y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的单调减区间为$[kπ+\frac{π}{12}，kπ+\frac{7π}{12}]，k∈Z$；故①正确；
②函数$y=\sqrt{3}cos2x-sin2x$=2 cos（2x+$\frac{π}{6}$），令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得到x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，令k=0，得到函数图象 的一个对称中心为$（\frac{π}{6}，0）$；故②正确；
③由函数$y=sin（x+\frac{π}{4}）$的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位得到y=sinx；故③错误；
④方程 $sin（2x+\frac{π}{3}）-a=0$在区间$[0，\frac{π}{2}]$上有两个不同的实数解x₁，x₂，由三角函数的性质得到${x_1}+{x_2}=\frac{π}{6}$．正确．
故答案为：①②④

点评 本题考查了三角函数的图象和性质的运用；熟练掌握正弦函数和余弦函数的图象和性质是解答的关键．