Question

16．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C₁的极坐标方程为ρ²cos2θ+8ρcosθ=ρ²+8．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）曲线C₂的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （t为参数），若曲线C₁与曲线C₂交于A、B两点，且|AB|=8，求直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由化简ρ²cos2θ+8ρcosθ=ρ²+8得ρ²（2cos²θ-1）+8ρcosθ=ρ²+8⇒⇒曲线C₁的直角坐标方程：y²=4（x-1）．
（Ⅱ）把C₂的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ 代入曲线C₁的方程，y²=4（x-1）．得t²sin²α-4tcosα-4=0．
|AB|=|t₁-t₂|=8⇒（t₁+t₂）²-4t₁t₂=64，⇒sin²α、tanα

解答 解：（Ⅰ）由ρ²cos2θ+8ρcosθ=ρ²+8得ρ²（2cos²θ-1）+8ρcosθ=ρ²+8⇒2x²+8x=2x²+2y²+8
⇒曲线C₁的直角坐标方程：y²=4（x-1）．
（Ⅱ）把C₂的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ 代入曲线C₁的方程，y²=4（x-1）．得t²sin²α-4tcosα-4=0．
t₁+t₂=$\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}$，t₁t₂=-$\frac{4}{si{n}^{2}α}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=8⇒（t₁+t₂）²-4t₁t₂=64，⇒sin²α=$\frac{1}{2}$，tanα=±1∴直线AB的斜率为±1．

点评 本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．