Question

7．已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点到准线的距离为2，则直线y=x+1截抛物线所得的弦长等于8．

Answer 1

分析 先确定抛物线的标准方程，确定直线y=x+1过焦点F，进而利用抛物线的定义，可计算弦长．

解答 解：由题设抛物线x²=2py（p＞0）的焦点到准线的距离为2，
∴p=2，
∴抛物线方程为x²=4y，焦点为F（0，1），准线为y=-1，
∴直线y=x+1过焦点F，
联立直线与抛物线方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，消去x，整理得y²-6y+1=0
设交点的纵坐标分别为y₁，y₂，则y₁+y₂=6，
∴直线y=x+1截抛物线所得的弦长l=y₁+y₂+p=6+2=8
故答案为：8．

点评 本题主要考查抛物线的定义、方程与性质，考查抛物线中弦长的计算，属于基础题．