Question

17．设直线l与抛物线C：y²=4x交于A，B两点（两点可以重合），已知O为坐标原点，若直线OA和OB的倾斜角互余，则抛物线C的焦点F到直线l的距离的取值范围是（0，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 由题意，设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=$\frac{1}{k}$x，与抛物线方程联立，求出A，B的坐标，可得直线l的方程，求出抛物线C的焦点F到直线l的距离，利用基本不等式即可得出结论．

解答 解：由题意，设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=$\frac{1}{k}$x．
y=kx与抛物线C：y²=4x联立，可得A（$\frac{4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），
y=$\frac{1}{k}$x与抛物线C：y²=4x联立，可得B（4k²，4k），
∴直线l的斜率=$\frac{k}{{k}^{2}+1}$，
∴直线l的方程为y-4k=$\frac{k}{{k}^{2}+1}$（x-4k²），即kx-（k²+1）y+4k=0，
∴抛物线C的焦点F到直线l的距离d=$\frac{|5k|}{\sqrt{{k}^{2}+（{k}^{2}+1）^{2}}}$=$\frac{5}{\sqrt{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+3}}$≤$\sqrt{5}$，
∴抛物线C的焦点F到直线l的距离的取值范围是（0，$\sqrt{5}$]．
故答案为：（0，$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查点到直线距离公式的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．