若a.b.c为直角三角形三边.c为斜边.求证:a3+b3＜c3．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．若a，b，c为直角三角形三边，c为斜边，求证：a³+b³＜c³．

分析运用直角三角形的勾股定理，可得a²+b²=c²，即为（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²=1，0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{b}{c}$＜1，再由指数函数y=a^x（0＜a＜1）递减，可得（$\frac{a}{c}$）³+（$\frac{b}{c}$）³＜1，即可得证．

解答证明：a，b，c为直角三角形三边，c为斜边，
可得a²+b²=c²，
即为（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²=1，
且0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{b}{c}$＜1，
由（$\frac{a}{c}$）³＜（$\frac{a}{c}$）²，（$\frac{b}{c}$）³＜（$\frac{b}{c}$）²，
可得（$\frac{a}{c}$）³+（$\frac{b}{c}$）³＜（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²=1，
即有a³+b³＜c³．

点评本题考查不等式的证明，注意运用直角三角形的勾股定理和指数函数的单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．

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6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

	男	女	总计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
总计	60	50	110

由${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$算得：${K^2}=\frac{{110×{{（40×30-20×20）}^2}}}{60×50×60×50}≈7.8$

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

参照附表，得到的正确结论是（　　）

	A．	在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
	B．	在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
	C．	有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
	D．	有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

7．已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点到准线的距离为2，则直线y=x+1截抛物线所得的弦长等于8．

4．已知a，b∈R⁺，且a≥b
求证：b≤$\sqrt{\frac{2}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}}$≤$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$≤$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$≤a．

11．已知正数x，y，z满足x+y+z=3，求证：$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$+$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$+$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤$\frac{3}{5}$．

1．已知0＜x＜$\frac{1}{y}$，求证：y-y²＜$\frac{1}{x+1}$．

8．已知椭圆Σ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点$P（2，\sqrt{2}）$．
（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；
（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点，线段AB的垂直平分线l经过M（0，1），求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．

5．设斜率$\frac{1}{2}$为的直线l过抛物线y=ax²（a＞0）的焦点F，且和x轴交于点A，若△OAF的面积为4，则实数a的值为$\frac{1}{8}$．

6．定义m⊕n=n^m（m＞0，n＞0），已知数列{a_n}满足a_n=$\frac{n⊕3}{3⊕n}$（n∈N^*），若对任意正整数n，都有a_n≥${a_{n_0}}$（n₀∈N^*），则${a_{n_0}}$的值为（　　）

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