Question

12．已知a＞0，b＞0，且a²+$\frac{a}{b}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=3，求证：a+$\frac{1}{b}$≤2．

Answer 1

分析 由重要不等式可得a²+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥$\frac{2a}{b}$，由条件可得a≤b，证得（a+$\frac{1}{b}$）²≤3+1=4，即可得证．

解答 证明：a＞0，b＞0，且a²+$\frac{a}{b}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=3，
可得a²+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥$\frac{2a}{b}$，
即有3≥$\frac{3a}{b}$，即为a≤b，
由（a+$\frac{1}{b}$）²=a²+$\frac{1}{{b}^{2}}$+$\frac{2a}{b}$=3-$\frac{a}{b}$+$\frac{2a}{b}$=3+$\frac{a}{b}$≤3+1=4，
可得a+$\frac{1}{b}$≤2．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用重要不等式和不等式的性质，考查推理能力，属于中档题．