已知抛物线方程为y2=4x.直线l的方程为x-y+2=0.在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1.P到l的距离为d2.则d1+d2的最小值为( )A．$2\sqrt{3}-2$B．$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1C．2$\sqrt{2}$D．2$\sqrt{2}$+2 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知抛物线方程为y²=4x，直线l的方程为x-y+2=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d₁，P到l的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值为（　　）

A．

$2\sqrt{3}-2$

B．

$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1

C．

2$\sqrt{2}$

D．

2$\sqrt{2}$+2

分析点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x-y+2=0的垂线，此时d₁+d₂最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d₁+d₂的最小值．

解答解：如图，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=-1于点C，
连接PF，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF，
∵P到y轴的距离为d₁，P到直线l的距离为d₂，
∴d₁+d₂=PA+PB=（PA+PC）-1=（PA+PF）-1，
根据平面几何知识，可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，
∵F（1，0）到直线l：x-y+2=0的距离为$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
∴PA+PF的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
由此可得d₁+d₂的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1
故选：B．

点评本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，正确运用抛物线的定义是关键．

练习册系列答案

9．

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连接A₁C，BD．
（1）求三棱锥A₁-BCD的体积
（2）求证：BD⊥平面A₁AC．

6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

	男	女	总计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
总计	60	50	110

由${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$算得：${K^2}=\frac{{110×{{（40×30-20×20）}^2}}}{60×50×60×50}≈7.8$

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

参照附表，得到的正确结论是（　　）

	A．	在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
	B．	在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
	C．	有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
	D．	有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

13．直线l与抛物线y²=4x交于A，B两点，且OA⊥OB，其中O为坐标原点．
（1）直线l是否过定点？证明你的结论；
（2）若$|{AB}|=4\sqrt{10}$，求△AOB的外接圆的方程．

10．设a≥b≥c＞0，证明：$\frac{{a}^{3}}{bc}$+$\frac{{b}^{3}}{ca}$+$\frac{{c}^{3}}{ab}$≥$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2c}$+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$．

7．已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点到准线的距离为2，则直线y=x+1截抛物线所得的弦长等于8．

8．已知椭圆Σ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点$P（2，\sqrt{2}）$．
（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；
（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点，线段AB的垂直平分线l经过M（0，1），求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．

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