Question

19．设M为直线x-y-1=0上的动点，过M作抛物线y=x²的切线，切点分别为A，B．
（1）求证：直线AB过定点．
（2）求△ABM面积S的最小值，并求此时取得最小值时M的坐标．

Answer 1

分析 （1）设设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），求切线MA，切线MB的方程，可得2x₀=x₁+x₂，y₀=x₁x₂，设直线AB的方程是y=kx+b，代入y=x²得x₀=$\frac{1}{2}$k，y₀=-b，代入y₀=x₀-1得-b=$\frac{1}{2}$k-1，即可证明结论；
（2）由两点间距离公式可求|AB|，由点到直线的距离公式可求点M到直线AB的距离d，由三角形面积公式及二次函数的性质即可得解．

解答 （1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
∵y=x²，∴y′=2x．
于是在点A处的切线方程为y-y₁=2x₁（x-x₁），化为y=2x₁x-x₁²．①
同理在点B处的切线方程为y=2x₂x-x₂²．②
由①②得2x₀=x₁+x₂，y₀=x₁x₂，显然直线AB存在斜率．
设直线AB的方程是y=kx+b，代入y=x²得x²-kx-b=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，即x₀=$\frac{1}{2}$k，y₀=-b，
代入y₀=x₀-1得-b=$\frac{1}{2}$k-1
∴y=kx-$\frac{1}{2}$k+1
∴y-1=k（x-$\frac{1}{2}$）
令x-$\frac{1}{2}$=0，可得y-1=0，∴x=$\frac{1}{2}$，y=1．
因此直线AB恒过定点（$\frac{1}{2}$，1）；
（2）解：由（1）得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{{k}^{2}+4b}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{{k}^{2}-2k+4}$
点M到直线AB的距离是d=$\frac{\frac{1}{2}（{k}^{2}-2k+4）}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
△MAB的面积=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{4}（{k}^{2}-2k+4）^{\frac{3}{2}}$≥$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
当k=1时△MAB的面积取得最小值$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，M的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，两点间距离公式，点到直线距离公式，直线的方程等知识的应用，难度大．熟练掌握导数的几何意义及其切线方程是解题的关键．