Question

19．点M（x，y）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，则点M到直线x+y-4=0的距离的最大值为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设P点坐标是（2$\sqrt{3}$cosα，2sinα），（0°≤α＜360°），点P到直线x+y-4=0的距离d公式，利用三角函数的有界性求出点P到直线x+y-4=0的距离的最大值．

解答 解：可设P点坐标是（2$\sqrt{3}$cosα，2sinα），（0°≤α＜360°）
∴点P到直线x+y-4=0的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosα+2sinα-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|4sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，
∴d_max=4$\sqrt{2}$．当且仅当sin（$α+\frac{π}{3}$）=-1时，取得最大值．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的性质的灵活运用．