Question

7．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆上一点，且PF₁⊥PF₂，若△PF₁F₂的面积为9，则b=3．

Answer 1

分析 通过椭圆定义知丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，由PF₁⊥PF₂，可知∴（丨PF₁丨）²+（丨PF₂丨）²=（2c）²，利用△PF₁F₂的面积为9可得$\frac{1}{2}$•丨PF₁丨•丨PF₂丨=9，则（2a）²=（丨PF₁丨+丨PF₂丨）²=（丨PF₁丨）²+（丨PF₂丨）²+2丨PF₁丨•丨PF₂丨，代入计算即可．

解答 解：根据椭圆定义知丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，由PF₁⊥PF₂，
∴△PF₁F₂为直角三角形，
∴（丨PF₁丨）²+（丨PF₂丨）²=（2c）²，
又∵△PF₁F₂的面积为9，
∴$\frac{1}{2}$•丨PF₁丨•丨PF₂丨=9，
∴（2a）²=（丨PF₁丨+丨PF₂丨）²
=（丨PF₁丨）²+（丨PF₂丨）²+2丨PF₁丨•丨PF₂丨，
=4c²+36，
∴b²=a²-c²=9，
∴b=3，
故答案为：3．

点评 本题考查椭圆定义、直角三角形的面积及勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．