Question

10．当n≥2，n∈N^*时，求证：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 先验证n=1不等式成立，假设n=k时不等式成立，推导n=k+1不等式成立即可．

解答 证明：（1）当n=2时，左边=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右边=$\sqrt{2}$，等式成立．
（2）假设当n=k（k≥2且k∈N^*）不等式成立，即1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$＞$\sqrt{k}$，
当n=k+1时，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{\sqrt{k（k+1）}+1}{\sqrt{k+1}}$＞$\frac{\sqrt{k•k}+1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{k+1}{\sqrt{k+1}}$=$\sqrt{k+1}$，
∴当n=k+1时，不等式也成立．
∴对n≥2，n∈N^*时，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n}$．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．