Question

如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥BC；
（Ⅱ）求二面角E-BF-C的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，得到E、F、B、C点的坐标，易求得此

EF

•

BC

=0，所以EF⊥BC；
（Ⅱ）设平面BFC的一个法向量

n1

=（0，0，1），平面BEF的法向量

n2

=（x，y，z），依题意，可求得一个

n2

=（1，-

3

，1），设二面角E-BF-C的大小为θ，可求得sinθ的值．

解答： （Ⅰ）证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，-1，

3

），D（

3

，-1，0），C（0，2，0），因而E（0，

1

2

，

3

2

），F（

3

2

，

1

2

，0），所以

EF

=（

3

2

，0，-

3

2

），

BC

=（0，2，0），因此

EF

•

BC

=0，所以EF⊥BC．
（Ⅱ）解：在图中，设平面BFC的一个法向量

n1

=（0，0，1），平面BEF的法向量

n2

=（x，y，z），又

BF

=（

3

2

，

1

2

，0），

BE

=（0，

1

2

，

3

2

），
由

n2 • BF =0 n2 • BE =0

得其中一个

n2

=（1，-

3

，1），
设二面角E-BF-C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则
cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

1

5

，
因此sinθ=

2

5

=

2 5

5

，即所求二面角正弦值为

2 5

5

．

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．