Question

如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．

Answer 1

考点：圆周角定理,与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；
（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．

解答： 证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，
∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，
∵∠PGD=∠EGA，
∴∠DBA=∠EGA，
∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BDA，
∴∠NDA=∠PFA，
∵AF⊥EP，
∴∠PFA=90°．
∴∠BDA=90°，
∴AB为圆的直径；
（Ⅱ）连接BC，DC，则
∵AB为圆的直径，
∴∠BDA=∠ACB=90°，
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，
∴Rt△BDA≌Rt△ACB，
∴∠DAB=∠CBA，
∵∠DCB=∠DAB，
∴∠DCB=∠CBA，
∴DC∥AB，
∵AB⊥EP，
∴DC⊥EP，
∴∠DCE为直角，
∴ED为圆的直径，
∵AB为圆的直径，
∴AB=ED．

点评：本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题．