Question

6．已知双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由离心率公式，可得a，b，c的关系，运用直线的斜率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
由题意可设A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（-c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
C（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），D（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由双曲线E的离心率是2，可得e=$\frac{c}{a}$=2，
即c=2a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
直线AC的斜率为k=$\frac{\frac{2{b}^{2}}{a}}{-2c}$=-$\frac{{b}^{2}}{ac}$=-$\frac{3{a}^{2}}{2{a}^{2}}$=-$\frac{3}{2}$．
即有|k|=$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．