Question

10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB．
（1）求cosB的值；
（2）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，且b=2$\sqrt{2}$，求a和c的值．
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理和诱导公式化简已知的式子，由内角的范围即可求出cosB的值；
（2）根据条件和数量积的运算可求出ac的值，由余弦定理列出方程，联立方程后求出a和c的值；
（3）由B的范围和平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积即可．

解答 解：（1）由sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB得，
sin（B+C）=3sinAcosB     …（2分）
因为A、B、C是△ABC的三内角，
所以sin（B+C）=sinA≠0，…（3分）
因此$cosB=\frac{1}{3}$…（4分）
（2）∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，∴|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cosB=$\frac{1}{3}$ac=2，则ac=6              …（6分）
又b=2$\sqrt{2}$，则由余弦定理得，
b²=a²+c²-2accosB，所以a²+c²=12，…（8分）
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{ac=6}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=12}\end{array}\right.$，得$a=c=\sqrt{6}$…（10分）
（3）∵0＜B＜π，且$cosB=\frac{1}{3}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{6}×\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}$…（12分）

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，数量积的运算，以及三角形的面积公式的应用，属于中档题．