Question

5．四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为$\frac{243π}{16}$同一球面上，则PA=（　　）

• A． 3
• B． $\frac{7}{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，推导出O是该四棱锥的外接的球心，可得球半径，由四棱锥的所有顶点都在体积为$\frac{243π}{16}$，建立方程求出PA即可．

解答 解：连结AC，BD交于点E，取PC的中点O，连结OE，则OE∥PA，所以OE⊥底面ABCD，则O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O球心，均为$\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}\sqrt{P{A^2}+A{C^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{P{A^2}+8}$，
所以由球的体积可得$\frac{4}{3}π{（\frac{1}{2}\sqrt{P{A^2}+8}）^3}=\frac{243π}{16}$，解得$PA=\frac{7}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查四面体的外接球的体积，考查勾股定理的运用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．