Question

20．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A₁A=2，过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，求出球的半径，可得球心到截面的距离．

解答 解：过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A₁A=2，
∴球的半径为$\frac{1}{2}\sqrt{9+4+4}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴球心到截面的距离为$\sqrt{\frac{17}{4}-1}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查求球心到截面的距离，考查学生的计算能力，确定当截面面积最小时，截面的直径为AD=2是关键．