Question

7．已知在数列{a_n}中，a₁=2，a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），设S_n是数列{b_n}的前n项和，b_n=lga_n，则S₉₉的值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 利用两边取倒数将递推公式化简变形为：$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1，利用等差数列的定义和通项公式可得a_n，代入b_n=lga_n利用对数的运算性质化简，利用“裂项相消法”求出S_n，即可得到答案．

解答 解：∵a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），
∴a_n-1=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），
两边取倒数得，$\frac{1}{{a}_{n}-1}=\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-1}$=$\frac{{a}_{n-1}-1+1}{{a}_{n-1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是等差数列，且首项为1、公差为1，
则$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+n-1=n，解得a_n=$\frac{n+1}{n}$，
∴b_n=lga_n═lg（n+1）-lgn，
∴S_n=（lg2-lg1）+（lg3-lg2）+…+[（lgn-lg（n-1）]+[lg（n+1）-lgn）
=lg（n+1）-lg1=lg（n+1），
∴S₉₉=lg100=2．
故选：A．

点评 本题考查数列的递推公式化简及应用，对数的运算性质，等差数列的定义和通项公式，以及利用裂项相消法求数列的前n项和，考查化简、变形能力．