Question

在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．
（Ⅰ）求证：BC∥EF；
（Ⅱ）求三棱锥B-DEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥平面ADEF，由此能证明BC∥EF．
（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，由已知得DE⊥BH，BH⊥平面ADEF，由此能求出三棱锥B-DEF的体积．

解答： 解：（Ⅰ）因为AD∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADEF，
所以BC∥平面ADEF，…3分
又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，
所以BC∥EF．…6分
（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，
因为DE⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，所以DE⊥BH，
又AD、DE?平面ADEF，AD∩DE=D，
所以BH⊥平面ADEF，
所以BH是三棱锥B-DEF的高．…10分
在直角三角形ABH中，∠BAD=60，AB=2，所以BH=

3

，
因为DE⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以DE⊥AD，
又由（Ⅰ）知，BC∥EF，且AD∥BC，
所以AD∥EF，所以DE⊥EF，
所以三棱锥B-DEF的体积：
V=

1

3

×S△DEF×BH=

1

3

×

1

2

×1×1×

3

=

3

6

．…13分．

点评：本题考查两直线平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．