Question

椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点（-5，0），（5，0），且它们的离心率都可以使方程2x²+4（2e-1）x+4e²-1=0有相等的实根，求椭圆和双曲线的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用二次方程有两个相等的实根，令其判别式为0，求出两个根，据焦点坐标求出椭圆和双曲线方程．

解答： 解：由题意得△=16（2e-1）²-4×2×（4e²-1）=0，即4e²-8e+3=0，解得e=

3

2

或e=

1

2

．
当e=

1

2

时，曲线为椭圆，c=5，e=

c

a

=

1

2

，则a=2c=10，b²=a²-c²=100-25=75，
所以椭圆的方程为

x2

100

+

y2

75

=1．
当e=

3

2

时，曲线为双曲线，c=5，e=

c

a

=

3

2

，
则a=

2

3

c=

10

3

，b²=c²-a²=25-

100

9

=

125

9

，所以双曲线的方程为

9x2

100

-

9y2

125

=1．

点评：解决椭圆与双曲线问题要注意椭圆的离心率的范围为（0，1）；双曲线离心率的范围为（1，+∞）．