Question

函数f（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，是否存在实数λ，使f（x）在（-∞，-2]上是减函数，而在[-1，0）上是增函数？若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：导数的综合应用

分析：求f′（x），根据f′（x）的符号判断函数f（x）的单调性，求出函数f（x）在（-∞，0）上的单调赠区间：（-

λ-2 2

，0）和单调减区间：（-∞，-

λ-2 2

]．所以要使f（x）在（-∞，-2]上是减函数，而在[-1，0）上是增函数，则能得到限制λ的不等式，解不等式，即得λ的取值，根据λ的取值，即能看出是否存在λ，使f（x）在（-∞，-2]上是减函数，而在[-1，0）上是增函数．

解答： 解：f′（x）=4x³+2（2-λ）x=2x（2x²+2-λ）；
若2-λ≥0，则函数f（x）在[-1，0）上是减函数，即不能使f（x）在[-1，0）上是增函数；
若2-λ＜0，则令f′（x）=0得x=0，或±

λ-2 2

；
∴x＜-

λ-2 2

时，2x＜0，2x²+2-λ＞0，∴f′（x）＜0；-

λ-2 2

＜x＜0时，2x＜0，2x²+2-λ＜0，∴f′（x）＞0；
∴f（x）在(-∞，-

λ-2 2

]上是减函数，在(-

λ-2 2

，0)上是增函数；
∴若存在实数λ，使f（x）在（-∞，-2]上是减函数，而在[-1，0）上是增函数，则：

- λ-2 2 ≥-2 - λ-2 2 ≤-1

，解得4≤λ≤6，不妨取λ=5；
即存在λ=5，使f（x）在（-∞，-2]上是减函数，而在[-1，0）上是增函数．

点评：考查通过求函数导数，根据导数符号判断函数单调性的方法，不要忘了讨论2-λ≥0和2-λ＜0，求λ范围时可借助数轴．