Question

函数f（x）=

x+1

x2+1

的值域为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：本题通过换元法，将分子换成t，然后分类讨论，求出分母的取值范围，得到f（x）=

x+1

x2+1

的值域，即得到本题结论．

解答： 解：设x+1=t，则x=t-1，
∵函数f（x）=

x+1

x2+1

，
∴记g（t）=

t

(t-1)2+1

=

t

t2-2t+2

，
（1）当t=0时，g（t）=0，
（2）当t≠0时，g(t)=

1

t+ 2 t -2

，
∵t+

2

t

≤-2

2

或t+

2

t

≥2

2

，
∴t+

2

t

-2≤-2

2

-2或t+

2

t

-2≥2

2

-2，
∴

1

-2 2 -2

≤

1

t+ 2 t -2

＜0或0＜

1

t+ 2 t -2

≤

1

2 2 -2

，
∴

1- 2

2

≤g（t）＜0或0＜g（t）≤

1+ 2

2

，
综上，

1- 2

2

≤g（t）≤

1+ 2

2

，
∴函数f（x）=

x+1

x2+1

的值域为{y|

1- 2

2

≤y≤

1+ 2

2

}，
故答案为：[

1- 2

2

，

1+ 2

2

]．

点评：本题考查了换元法求二次分式函数的值域，本题也可利用导函数研究，本题难度不大，属于基础题．