Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为正三角形，且E，F分别为AD，AB的中点，PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PEB；
（Ⅱ）求EF与平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明：AD⊥平面PEB，利用四边形ABCD为菱形，可得AD∥BC，即可证明BC⊥平面PEB；
（Ⅱ）以E为原点，建立坐标系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求EF与平面PDC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD，
∴PE⊥AD，BE⊥AD，
∵PE∩BE=EM，
∴AD⊥平面PEB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴BC⊥平面PEB；
（Ⅱ）解：以E为原点，建立如图所示的坐标系，则

不妨设菱形ABCD的边长为2，则AE=ED=1，PA=2，PE=

3

，BE=

AB2-AE2

=

3

．
则点A(1，0，0)，B(0，

3

，0)，C(-2，

3

，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，

3

)，F(

1

2

，

3

2

，0).

DC

=(-1，

3

，0)，

DP

=(1，0，

3

)．
设平面PDC的法向量为

n

=（x，y，z）．
则由

-x+ 3 y=0 x+ 3 z=0

解得

x= 3 y x=- 3 z.

不妨令z=1，得

n

=（-

3

，-1，1），
又

EF

=(

1

2

，

3

2

，0)，
所以EF与平面PDC所成角的正弦值为|

(- 3 ，-1，1)•( 1 2 ， 3 2 ，0)

5 ×1

|=

15

5

．…（9分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及线面角及其度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．