Question

已知y=f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数，此函数满足对定义域内的任意实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1，又已知f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）试判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（3）如果f（x）+f（2-x）≥2，求x的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1，可得f（1），再令x=y=-1，可得f（-1）；
（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1），再由f（-1），即可判断函数的奇偶性；
（3）令x=y=2，求得f（4）=2，原不等式等价于f[x（2-x）]≥f（4）．再由偶函数和单调性的定义，即可得到不等式，解出即可．

解答： 解：（1）令x=y=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；
再令x=y=-1，则f[（-1）•（-1）]=f（-1）+f（-1），得f（-1）=0．
（2）对于条件f（x•y）=f（x）+f（y），令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1），
所以f（-x）=f（x）．又函数f（x）的定义域关于原点对称，
所以函数f（x）为偶函数．
（3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1，∴f（4）=2．
∵f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，
∴原不等式等价于f[x（2-x）]≥f（4）．
又函数f（x）为偶函数，且函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴原不等式又等价于x（2-x）≥4或x（2-x）≤-4，
解得x≤1-

5

或x≥1+

5

．

点评：本题抽象函数的奇偶性和单调性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，考查运算能力，属于中档题．