Question

2．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示．
（1）求f（x）的最小正周期及解析式；
（2）求不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由题意可得 sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞$\frac{1}{2}$，故有 2kπ+$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，由此求得x的范围．

解答 解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象，
可得A=1，$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$，求得ω=2．
再根据五点法作图可得2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{6}$，故函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），可得它的周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$ 可得 sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞$\frac{1}{2}$，可得 2kπ+$\frac{π}{6}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
求得kπ＜x＜kπ+$\frac{π}{3}$，故 sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞$\frac{1}{2}$的解集为{x|kπ＜x＜kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，解三角不等式，属于基础题．