Question

10．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（1）=0，则不等式$\frac{2f（x）-f（x）}{3x}$＜0的解集为（　　）

• A． （-1，0）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（0，1）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 本题可以利用f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（1）=0，得到f（x）的相应函数值的正负情况，再根据f（x）是奇函数，得到在（-∞，0）上f（x）的相应函数值的正负情况，通过分类讨论，将不等式$\frac{2f（x）-f（x）}{3x}$＜0等价于不等式xf（x）＜0，转化为不等式组，解不等式组，得到本题结论．

解答 解：∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（1）=0，
∴当0＜x＜1时，f（x）＞0；
当x＞1时，f（x）＜0．
又∵f（x）是奇函数，
∴由图象的对称性知：当x＜-1时，f（x）＞0；
当-1＜x＜0时，f（x）＜0．
若f（0）有意义，则f（0）=0．
∵不等式$\frac{2f（x）-f（x）}{3x}$＜0等价于不等式xf（x）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
∴x＞1或x＜-1．
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性与对称性，函数性质与图象间关系，本题难度不大，属于基础题．