Question

12．向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$之间的夹角为30°，且|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=4，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$²，$\overrightarrow{b}$²，（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）．

Answer 1

分析 利用数量积公式可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos30°，$\overrightarrow{a}$²=|$\overrightarrow{a}$|²，$\overrightarrow{b}$²=|$\overrightarrow{b}$|²，（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=|$\overrightarrow{a}$|²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2|$\overrightarrow{b}$|²．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$之间的夹角为30°，且|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=4，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos30°=3×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{a}$²=|$\overrightarrow{a}$|²=9，
$\overrightarrow{b}$²=|$\overrightarrow{b}$|²=16，
（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）
=|$\overrightarrow{a}$|²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2|$\overrightarrow{b}$|²
=9+6$\sqrt{3}$-32
=6$\sqrt{3}$-23．

点评 本题考查向量数量积定义的应用．