Question

13．已知直线x+4y=2与x轴，y轴分别交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． 4
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 由题意a+4b=2，且a＞0，b＞0，所以$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≥$\frac{1}{2}$（5+4）=$\frac{9}{2}$，可求得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：由题意知a+4b=2，且a＞0，b＞0，
所以$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≥$\frac{1}{2}$（5+4）=$\frac{9}{2}$，
当且仅当$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}{b}$，即a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{1}{3}$时，取等号，即$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键．