Question

点P是函数y=x²-2lnx的图象上任意一点，则点P到直线y=3x-1的最小距离是（　　）

• A、

  10

  10

• B、

  (2-2ln2) 10

  10

• C、

  (2+ln2) 10

  10

• D、

  ln2 10

  10

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：导数的综合应用

分析：利用导数的几何意义求出切点坐标，再求切点到直线的距离即为所求．

解答： 解：∵y=x²-2lnx（x＞0），
∴y′=2x-

2

x

=

2x2-2

x

=0
令y′=1，可得2x²-3x-2=0
解得x=2，或x=-

1

2

（舍去）．
∴直线y=3x+b与曲线y=x²-2lnx的切点为（2，4-2ln2）
它到直线y=3x-1的距离d=

|3-4+2ln2-1|

10

=

(2-2ln2) 10

10

是函数图象上的点到直线的最小距离．
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及点到直线的距离公式的应用问题，是中档题．