Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²-

1

4

，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：{a_2n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{

1

Sn

}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据当n≥2时a_n=S_n-S_n-1，由2n≥2求出a_2n的式子，由式子的特点判断出数列{a_2n}是等差数列；
（2）由题意求出

1

Sn

，利用裂项相消法求出前n项和T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1-

1

4

，a₁=

3

4

，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²-

1

4

）-[（n+1）²-

1

4

]=-2n-1，
又2n≥2，所以a_2n=-4n-1，
所以数列{a_2n}是以-5为首项，公差为-4的等差数列；
（2）由S_n=n²-

1

4

得，

1

Sn

=

1

n2- 1 4

=

1

(n+ 1 2 )(n- 1 2 )

=

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

，
所以T_n=（

1

1 2

-

1

3 2

）+（

1

3 2

-

1

5 2

）+…+（

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

）
=2-

1

n+ 1 2

=

4n

2n+1

．

点评：本题考查了a_n与S_n的关系式，等差数列的通项公式，裂项相消法求数列前n项和，属于中档题．