Question

函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1，当a≥

1

2

时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求出函数的导数，分别讨论①当a=

1

2

②当

1

2

＜a＜1时，③当a≥1时的情况，从而求出函数的单调区间；

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=-

[ax+(a-1)](x-1)

x2

（x＞0），
令g（x）=ax²-x+1-a，
①当a=

1

2

时，x₁=x₂，f′（x）=-

1 2 (x-1)2

x2

＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
②当

1

2

＜a＜1时，令f′（x）=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，得-ax²+x+a-1＞0，解得：

1

a

-1＜x＜1，
此时f（x）在（

1

a

-1，1）递增，在（0，

1

a

-1）和（1，+∞）递减；
③当a≥1时，由于

1

a

-1≤0，令f′（x）＞0，得-ax²+x-1+a＞0，解得：0＜x＜1，
此时函数f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
综上：①当a=

1

2

时，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
②当

1

2

＜a＜1时，f（x）在（

1

a

-1，1）递增，在（0，

1

a

-1）和（1，+∞）递减；
③当a≥1时，函数f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．