Question

已知圆O的方程为x²+y²=16，过点M（3，0）作直线与圆O交于A、B两点．
（1）若坐标原点O到直线AB的距离为

3

2

，求直线AB的方程；
（2）当△OAB的面积最大时，求直线AB的斜率；
（3）如图所示过点P（-4，0）作两条直线与圆O分别交于R、S，若∠OPR+∠OPS=

π

4

，且两角均为正角，试问直线RS的斜率是否为定值，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）设过点N（3，0）的直线方程为x=my+3，由原点到直线AB的距离能求出直线AB的方程．
（2）直线AB的方程：x=my+3，代入圆的方程x²+y²=16得（m²+1）y²+6my-7=0，由此利用韦达定理、弦长公式能求出直线AB的斜率．
（3）设点R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），将直线RS的方程y=kx+b，代入圆的方程得（k²+1）x²+2kbx+b²-16=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线RS的斜率为定值-1．

解答： （本小题16分）
解：（1）设过点N（3，0）的直线方程为x=my+3，
∵原点到直线AB的距离为

3

2

，
∴

3

m2+1

=

3

2

，解得m=±

3

，
∴直线AB的方程为x±

3

y-3=0．
（2）直线AB的方程：x=my+3，
代入圆的方程x²+y²=16得（m²+1）y²+6my-7=0，
由韦达定理得，y1+y2=

-6m

m2+1

，y1y2=

-7

m2+1

，
∵SAOB=

1

2

×|ON||y1-y2|=3

16m2+7 (m2+1)2

=3

16 (m2+1) - 9 (m2+1)2

，
∴当

1

m2+1

=

8

9

时，即m=±

2

4

时△OAB面积最大，
此时直线AB的斜率为±2

2

．
（3）设点R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
将直线RS的方程y=kx+b，代入圆的方程得（k²+1）x²+2kbx+b²-16=0
由韦达定理得x1+x2=-

2kb

k2+1

，x1x2=

b2-16

k2+1

①
tan∠OPR=

y1

x1+4

，tan∠OPS=

y2

x2+4

，
则

y1 x1+4 + y2 x2+4

1- y1 x1+4 × y2 x2+4

=1，
即y₁（x₂+4）+y₂（x₁+4）=（x₁+4）（x₂+4）-y₁y₂（*），
又∵y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，②
则①②代入（*）式整理得b（k+1）=4k（k+1），
即b=4k或k=-1，
当b=4k时，直线RS过定点（-4，0）不成立，
故直线RS的斜率为定值-1．

点评：本题考查直线方程、直线斜率的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．